数学の世界を網羅した一冊『マスペディア1000』発売です！

『マスペディア１０００』を、株式会社ディスカヴァー・トゥエンティワン(取締役社長：干場 弓子、本社：東京都千代田区)より発売いたしました。昨年刊行された「サイエンスペディア1000」（同社刊）の姉妹本となり、数学の面白いトピックを1000個まとめた数学辞典となります。いまの数学の世界の全貌がわかる良質な内容と、飾っておきたくなるおしゃれな装丁が特徴です。

 

>>>> 概要 <<<<
本書で私が目指すのは、いまの数学の世界がどのようなもので、いかにしてそうなったかの概要を示すことだ。数学の全景をぼんやりととらえた地図を描いてもよかったのだが、おそらくそれは役に立たないし、おもしろくもないだろう。
だからそれはやめて、数学の世界に点在する興味深い名所から1000枚の「絵葉書」を描くことにした。それでも、じゅうぶん数学の全景が味わえるはずだ。（「マスペディア1000」まえがきより抜粋）







 

本書では、数学を1章1分野として、10章計1000項目を取り上げました。

各分野は、さらに細かくトピックに分かれており、数学の読み物としても、辞書としても、またちょっとした暇つぶしにも使えるようになっています。

ここでは第１章を例にして、本書の内容をご紹介します。



第１章　数　NUMBERS

「数」は、長年の間多くの人を惹きつけてきたテーマであり、長年の間に数の正体を深く理解するようになりました。本章では、まず自然数について取り上げたのち、数をめぐる大テーマのうち、「素数」と「ディオファントス方程式」を取り上げています。（各章についても、章を数トピックに分け、そのトピック毎に項目を紹介しています。）

＜ページイメージ＞
 

＜第１章の構成＞

数の章は、「基本」「計算」「数体系」「有理数」「約数と倍数」「帰納法」「数の表現法」「超越数」「定規とコンパスによる作図」「ディオファントス方程式」「素数」の１１のトピックにわかれています。トピックの中から内容をピックアップしてご紹介します。

１．基本       ：四則演算、累乗、根、指数・対数について紹介
足し算には、「計算尺」を使った計算方法が知られています。
センチメートル単位の目盛りがついた２本の定規を用意し、上下に並べて置きます。例えば4＋7を計算したい場合は、図のように、上側の定規を横にずらして、その始点を下側の定規の「4」の目盛りに合わせます。上側の定規の「7」の目盛りを探し、そこでの下側の定規の目盛りの値を読めば、答えが手に入ります。

これを応用すると、掛け算も同様のやり方で計算することができます。「対数の計算尺」と言われるもので、対数の第一法則

log(ab)=log a+lob b  ：掛け算の結果の対数は、その掛け合わせた数の対数の和になる

を使うことで、掛け算を足し算に変換できるからです。対数定規は、1620年代にウィリアム・オートレッドが初めて設計しました。    ☞詳しくはpp.13-14参照

２．計算       ：筆算、割り切れるかどうかのチェックや、トラハテンベルクの計算を紹介
ある数の倍数かどうかを簡単にチェックできる方法を紹介しています。
よく知られている「末尾が０，２，４，６，８なら２で割り切れる」「末尾が０，５なら５で割り切れる」といったものから、素数の計算方法まで載っています。

―倍数のチェック方法―

2の倍数              下1桁が偶数
3の倍数              全ての桁の和が3の倍数
4の倍数              下2桁が4の倍数
5の倍数              下1桁が0か5
6の倍数              （6=2×3なので）下1桁が偶数で、全ての桁の和が3の倍数
7の倍数              末尾を切り離した数から、元の数の下1桁を2倍した数を引いた数が7の倍数
8の倍数              下3桁が8の倍数
9の倍数              全ての桁の和が9の倍数
10の倍数      下1桁が0
11の倍数      各桁の数字の交代和が11の倍数
12の倍数      （12=4×3なので）下2桁が偶数で、全ての桁の和が3の倍数
13の倍数      末尾を切り離した数から、元の数の下1桁を4倍した数を加えた数が13の倍数
…

うんちくとして、友達に自慢できそうですね！   ☞詳しくはpp.18-22参照

３．数体系     ：数の体系、四元数、八元数、フルヴィッツの定理をを紹介しています


一番古くからある数体系は、人間がものを数えるために何千年も使ってきた０，１，２，３，４，５…といった自然数がスタートになります。その後、利益や負債を評価するために、負の数が必要になり、整数の体系が誕生しました。しかし、すべてのものごとが整数で評価できず、半日や3分の2メートルといった表現の必要性から、分数と整数を合わせた体系である有理数が出てきます。

ところが、有理数だけですべての長さが測定できるわけではなく、有理数と有理数の隙間を埋めることで、実数という体系に至りました。しかし、16世紀に、方程式を解こうと取り組んでいた代数学者はそれでも不十分であることを悟り、-1の平方根を導入することで、複素数という体系が生まれました。

数の体系も、歴史の中で次第に進化しており、それぞれの体系の性質や特異性が研究されています。
☞詳しくはpp.24-32参照

４．有理数     ：分数関連、循環小数、無理数や反射光の問題を紹介しています

循環小数とは、小数展開が無限の繰り返しになる小数の事を言います。例えば、 を小数に直すと、3が無限に続いてしまいます。なので、このような数は、以下の様に記述します。

この循環小数について、ちょっと不思議な事実を紹介します。それは、以下の数式です。

と の2つの数は、一見「隣り合っているけれども同じ数ではない」ように感じないだろうか？実際は、2数は等しい数であり、以下の何れかの方法で証明することができます。

光線反射の問題も、東大入試の数学（※数学の定理や公式に基づく問題がよく出題される）でも取り上げられたことがある内容であり、興味のある方は読んでみていただきたい。       ☞pp.36-37参照

５．約数と倍数 ：算術の原則、約数・倍数、完全数や友愛数からアリコット数列まで紹介

完全数とは、ある数が、その数自身を除いたすべての約数を足し合わせた値に一致するような数のことです。6や28が完全数として知られています。

ほとんどの数は完全数ではなく、数の約数の和がもとの数に足りなかった（不足数）り、もとの数を超えて（過剰数）しまいます。

しかし、過剰数と不足数が互いに補いあうことがあり、そのようなペアを「友愛数」と呼んでいます。

例えば、220の約数は1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110であり、合計は284（過剰数）。284の約数は1,2,4,71,142で合計は220（不足数）となっており、この２数は友愛数となっている。

もっと長いサイクルのグループが存在し、それらの数は「社交数」と呼ばれています。  
  ☞詳しくはpp.41-42参照

６．帰納法     ：帰納法と、帰納法を使った膨大な計算の処理方法を紹介

無限に続くようなものを一度に証明するための方法が帰納法です。       ☞詳しくはpp.43-46参照

７．数の表現法 ：2進法、10進法、16進法、連分数、おもしろい演算子などを紹介

2進法といえば、手を使って数えることが出来ることで有名ですね。     ☞詳しくはpp.47-48参照

８．超越数     ：超越数、6指数定理、シャヌエル予想を紹介

９．定規とコンパスによる作図  ：角の等分や平方根の作図などを紹介

アルキメデスの螺旋を使った角の3等分の作図など、学校では扱わないけど少しテクニカルな内容が紹介されています。       ☞詳しくはpp.65参照
 

 

作図の世界は奥が深く、（本書では紹介されていませんが）ガウスが正十七角形をコンパスと定規で書く方法を見つけたことも有名です。ここに書くにはスペースが足りないので、興味のある方は調べてみてください。（ガウスは死んだ際に墓にこの図形を描いてもらうことを望んだが、複雑すぎて書けなかった、という逸話もあります。）

１０．ディオファントス方程式  ：数論の核の一つである「ディオファントス方程式」を紹介

ディオファントス方程式とは、「整係数多変数高次不定方程式」の事です。（不定方程式とは、「方程式の数よりも、変数の数の方が多い方程式」のこと）ざっくり言い換えれば、ディオファントス方程式は多項式の１種で、特に多項式に登場する数が整数であったり、方程式の整数解に関心を寄せているものの事をいいます。最も簡単なディオファントス方程式は、たとえば  のような線型方程式で、この方程式のうち整数解（図では直線上の整数座標）を探すことを行います。（ちなみにこの方程式に整数解は存在しません）   ☞詳しくはpp.74-76参照

１１．素数     ：数論の核の一つである「素数」を紹介

素数のトピックは、学校で習った記憶もあるであろう「エラトステネスの篩」から始まります。名前を聞くと重々しいですが、要はある数まで（例えば「1～100」まで）のなかの素数を簡単に見つける方法の事です。

＜やり方＞

①   ある数までの（図で示しているように 100まで、など）自然数をすべて書きだします。そして、1を消します。リスト上の最小の数は2となります。これは素数なので、2を丸で囲みます。
②   次に、リストから2 の倍数 4、6、8、10、……をすべて消します。すると、リスト上の最小の数は 3となります。これを素数と認め、次にその倍数 6、9、12、……をすべて消します。
③   このように、各段階でリスト上の最小数を素数と認定し、その倍数はリストから消していきます。こうすると次の素数が見つかります。

自然数を篩にかけるこの技術は、エラトステネスの時代以降大きく進歩し、現代の数論において重要な役割を果たしています。      ☞詳しくはpp.87-88参照

ここでは、第一章を例に内容を紹介しましたが、他の章も第1章に負けない（それ以上の）内容が詰め込まれています。数学のうんちくを手に入れたい方も、数学を愛してやまない人にもおすすめできる1冊です。もちろん、おしゃれな装丁なので、飾っておく人に向けてもおすすめです。ふとしたタイミングで手に取り、パッと開いたページの内容を読むのも1つの楽しみ方です。

【目次】
数／幾何学／代数学／離散数学／解析学／論理学／超数学／確率論と統計学／数理物理学／ゲームとレクリエーション

【著者プロフィール】
Richard　Elwes（リチャード・エルウィス）
イギリス・リーズ大学のティーチングフェローであり、数学についてのライター、教員、研究者として活躍。モデル理論についての学術論文を発表する傍ら、“New Scientist”や“Plus Magazine”に寄稿し、数学を広く社会に伝える活動に携わる。

 【書籍情報】
タイトル：マスペディア1000
定価：4,400円（税抜）
発売日：2016.12.25
判型：A5変形判・上製／584ぺージ
ISBN：978-4-7993-2020-4
発行：ディスカヴァー・トゥエンティワン
ディスカヴァーサイト：http://www.d21.co.jp/shop/isbn9784799320204

【販売サイト】
Amazon：https://www.amazon.co.jp/dp/4799320203
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ディスカヴァー・トゥエンティワン：http://www.d21.co.jp/shop/isbn9784799320204